Re: По первому: тестил, не проверяет раз в 15 минут.
Это уже само по себе плохо. По умолчанию должно работать.
Причиной всегда являются различные "оптимизаторы батареек", см. ЧаВо ближе к концу, там есть подробности.
Re: под галочкой "пуш почта" начинает писать, что для этого аккаунта пуш заблокирован
А вот это серьёзнее.
Для пуш почты Exchange тоже есть разные технологии.
Та которую использует Аква - не работает у очень небольшого, но ненулевого количества пользователей.
Дело не в программе - а в том что администраторы серверов блокируют функцию "EWS Push Subscriptions".
Через эту фукцию сервер Exchange должен уведомлять наш сервер (по адресу
https://push-ews.aqua-mail.com ... ) об изменениях в учётной записи. Бывает что "EWS Push Subscriptions" выключают или разрешают только внутри корпортаивной сети.
Здесь ни мы ни Вы не сможете ничего сделать - только "админы", но я понимаю что это может быть сложно.
Если Вы покупали программу ради пуш почты Exchange (и даже если не только) -- напишите на support / aqua-mail / com с указанием номера заказа, мы сделаем отмену / возврат.