Про проверку:
Системные настройки - данные (или использование данных, или даже мобильные данные, бывает по-разному) - меню - убедитесь, что там стоит галочка "авто-синхронизация данных".
Это системная настройка, и если она выключена, то программы должны ее соблюдать.
Также, случайно не пользуетесь программой Clean Master? Она слишком уж Clean (глагол).
Про виджет не понял -- 1*1 показывает только количество писем (общее и непрочтенные), а не сами письма.
