Ну если в Outlook указан POP, то как раз очень возможно, что Outlook как раз настроен удалять письма с сервера при проверке почты.
Если в веб-морде (читайте - на сервере) писем нет, то это будет отражаться в AquaMail (а также в K9, и т.д.) т.к. синхронизация идет с сервером.
Можно отключить удаление с устройства сообщений, которые удалены с сервера: длинное нажатие на учетной записи -- доп. настройки и папки -- доп. настройки -- отключить "синхр. удаления с севера".
Но придется сделать так, чтобы сообщения загружались полностью, и программе не нужно было до-загружать письма при открытии -- глобальные настройки, раздел сеть.
И все-таки это не оптимальная схема. Если есть несколько устройств ("обычный" компьютер + Андроид), то лучше держать письма на сервере.