По началу не понимал в чём проблема, даже переустановил приложение.
А про написанные в ответе выше все ограничения убрал давно.
Также стоит на автозапуске после перезагрузки, в том числе сделал так, чтобы приложение не закрывалось при нажатии кнопки закрыть все приложения.
Но, всё равно, через день или меньше, приложение перестает получать почту автоматически.
Что очень странно, другие приложения совсем не страдают от этого, к примеру, Facebook messenger работает в фоновом режиме, хотя я наложил ограничения на автозапуск и на "Restrict background activity"