1 - Push почта для Exchange находится в разработке, есть "официальная тестовая" версия:
https://play.google.com/apps/testing/org.kman.AquaMail2 - После обновления учётку советую пересоздать, там же будет галочка включить пуш, прямо во время добавления учётной записи
3 - На всякий случай, длинное нажатие на учётной записи - доп. настройки и папки - доп. настройки - включить пуш почту
( поясню: настройка пуш почты на уровне программы по умолчанию включена, а на уровне учётной записи выключена )
4 - В этой версии в целом проверка почты Exchange работает более быстро, потребляет меньше трафика, и соотв. меньше батарейки
5 - Также для Exchange добавлена возможность "загружать ... дней" (а не "загружать ... число сообщений"), изначально выставляется 21 день.
Меняется на том же экране что и пуш (выше). Для работы пуш почты Exchange требуется именно чтобы было "... дней" (а не "... число сообщений", сколько именно дней не имеет значения.
6 - Плановую проверку почты отключать не рекомендую. Лучше, когда они работают вместе. Раз в 15 минут или 30 минут будет нормально.