1 - Да, всё верно.
На сервере mail.ru как не реализовали поиск на сервере в 2012, так и до сих пор никакого движения.
То же самое с пуш-почтой.
Речь о стандартных способах подключения к сервису mail.ru, с которым умеют работать десятки или сотни почтовых программ.
"Своё родное" конечно же умеет и то и другое, надеюсь Вы понимаете разницу.
Ну и раз так -- то зачем им вообще делать поиск или пуш стандартным образом, для всех почтовых программ -- если есть своя программа. Кажется они как-то так думают.
2 - В Акве нету пуш-почты для Exchange. Извините.
3 - Сложно сказать, похоже на медлительность базы данных. Посмотрите на её размер в меню - о программе. Больше 50-70 мегабайт может начать замедляться.
Влияют настройки "синхронизировать сообщений" и "хранить сообщений", на уровне программы (почта, получение) и учётных записей (длинное нажатие, доп. настройки и папки). По умолчанию "синхронизировать" = 25-50, а "хранить" = 250.
Если у Вас сильно больше, и сделаете поменьше, то советую после этого сделать Меню - Сжатие базы данных (в главном окне программы).
4 - Да, видел и уже не раз, что на устройствах Huawei ненадежно работает т.н. AlarmManager который управляет событиями "выставленными на определенное время".
Давайте обратимся в Отдел Поддержки Разработчиков этой уважаемой компании, и они объяснят мне -- почему и что делать.
Вот только такого Отдела, насколько мне известно, не существует, ни у одной компании-производителя.