Могу предположить, что The Bat настроен через POP3, а AquaMail через IMAP.
IMAP имеет синхронизацию состояний сообщений (прочетнное или нет, звездочки), а POP3 не имеет.
Многие, если не все, почтовые сервисы -- помечают письма как прочтенные (на сервере) когда они загружаются через POP3.
Вы можете проверить это, открыв веб-почту и запустив проверку в TheBat.
Ну а дальше, через IMAP письма загружаются как уже прочтенные.
Мне неизвестны какие-либо настройки в Яндекс.Почте, чтобы она этого не делала. Ну и вообще, когда есть несколько программ / устройств, то лучше использовать IMAP везде (на мобилках и на "больших").
Если не угадал -- пишите, подумаем дальше.